[백준 python 17626] Four Squares

[Silver III] Four Squares - 17626

문제 링크

성능 요약

메모리: 31552 KB, 시간: 52 ms

분류

브루트포스 알고리즘, 다이나믹 프로그래밍

제출 일자

2024년 10월 15일 16:35:03

문제 설명

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 5²과 1²의 합이다; 또한 4² + 3² + 1²으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 125² + 6² + 1² + 1²라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 105² + 15² + 8² + 5².

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

풀이

n = int(input())
dp = [False if i ** 0.5 % 1 else True for i in range(n+1)]

num = 4
for i in range(int(n**0.5), 0, -1):
    if dp[n]:
        num = 1
        break
    elif dp[n-i**2]:
        num = 2
        break
    else:
        for j in range(int((n-i**2)**0.5), 0, -1):
            if dp[(n-i**2)-j**2]:
                num = 3
                break
                
print(num)

 

dp에는 제곱수를 찾아 리스트에 넣어주는 리스트 컴프리헨션이다. i의 제곱근을 1로 나눈 나머지가 0이면 `True` 아니라면 `False`이다.

n이 True이면 제곱수는 1개라는 것이다.

`n - i ** 2`는 i의 제곱은 이미 제곱수에 포함되고, n에서 이를 뺀 값이 True이면 제곱수가 2개가 된다는 것이다.

`n - i ** 2 - j ** 2`이면 제곲수를 2번 포함하기 때문에 제곱수는 3이 된다.

이외에는 다 4이며, 이를 출력하면 된다.